[수학] 부분 적분

두 미분가능한 연속 함수 $f (x)$ 와 $g (x)$ 에 대해서, 적분 구간이 $[a, b]$ 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x) g(x)\,dx$

이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.

$\left[f(x) g(x) \right]_{a}^{b} = f(b) g(b) - f(a) g(a).$

이 법칙은 다음과 같이 미분의 곱셈 법칙과 미적분학의 기본정리로 증명할 수 있다.

$f(b)g(b) - f(a)g(a)\,$	$= \int_a^b \frac{d}{dx} ( f(x) g(x) ) \, dx$
	$=\int_a^b f'(x) g(x) \, dx + \int_a^b f(x) g'(x) \, dx$

부정적분의 경우에는 다음과 같다.

$\int f(x) g'(x)\,dx = f(x) g(x) - \int g(x) f'(x)\,dx$

또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.

$\int u\,dv = u v - \int v\,du$

여기서, $u = f(x),\ v = g(x)$ 이고, $du = f'(x) dx,\ dv = g'(x) dx$ 이다.

단순하게..그렇지만 대담하게