[수학] 벡터 내적과 외적 및 투영

1. 벡터 기본

1차원 성분으로 표현되는 값을 스칼라라고 한다. 2차원 성분으로 표현되는 값은 벡터라고 한다.
스칼라는 한 가지 값만 표현할 수 있는 반면에, 벡터는 방향과 힘을 동시에 표현할 수 있다.
 
2. 벡터 내적





A 와 B 의 순서가 자유롭게 변경되어도 무관하다.
즉, 곱하기와 더하기만 이용하여 스칼라 값을 도출하므로 내적의 순서는 중요하지 않다.

벡터의 내적은 주로 두 벡터의 각도와 관련된 연산에서 많이 쓰인다.


3. 벡터 외적



좌항에서 A 와 B 의 외적 순서가 바뀌면 우항의 순서도 동일하게 바꿔줘야 한다.
즉, A 와 B 의 외적 순서가 달라지면 결과값도 다른 벡터가 도출된다.

외적은 두 벡터와 직각 형태로 교차할 수 있는 3차원 벡터를 도출하므로
두 벡터를 알고 나머지 기저 벡터를 구하는데에 자주 사용된다.


4. 벡터 투영




는 바닥 벡터로, 투영을 시킬 벡터는 자유롭게 변경될 수 있으며 중요한 초점은
바닥 벡터인 B 에 맞춰져 있다. 즉, 바닥 벡터를 알고 있다면 바닥 벡터가 가져야
할 크기만 알면 된다. 한 가지 중요한 점은 위의 결과를 연산할 때 반드시
각 연산의 순서를 지켜주어야 한다는 점이다.

※ 위의 공식에서 우항의 |B|^2 은 B dot B 로도 표현될 수 있다.
(내적의 특성상 B dot B 는 |B|^2 로 바꿔 쓸 수 있다.)



실제로 투영이 된 벡터의 크기(길이) 값은 매우 쉽게 구할 수 있다.
그리고 이 경우에는 벡터 B 는 별로 중요하지 않다.
왜냐하면 우리가 알고 싶은 것은 크기(스칼라 값) 이기 때문이다.
(대신 벌어진 각도를 알고 있어야만 한다.)

5. 기타



사이의 각도는 이와 같이 표현될 수 있다.